Question

已知

a

与

b

为不共线的单位向量，其夹角θ，设

AB

=λ

a

+

b

，

AC

=

a

+μ

b

，有下列四个命题：
p₁：|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|?θ∈（0，

π

2

）；p₂：|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|?θ∈（

π

2

，π）；
p₃：若A，B，C共线?λ+μ=1；p₄：若A，B，C共线?λ•μ=1．其中真命题的是（　　）

• A、p₁，p₄
• B、p₁，p₃
• C、p₂，p₃
• D、p₂，p₄

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：

a

与

b

为不共线的单位向量，其夹角θ，可得|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=cosθ．θ∈（0，π）．
p₁：|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|?

a

•

b

=cosθ＞0?θ∈（0，

π

2

），即可判断出正误；
p₂：由命题p₁正确即可判断出正误；
p₄：若A，B，C共线?存在实数k使得

AB

=k

AC

，即λ

a

+

b

=k（

a

+μ

b

），可得

λ=k 1=kμ

，即可判断出正误；
p₃：由命题p₄正确，即可判断出正误．

解答： 解：∵

a

与

b

为不共线的单位向量，其夹角θ，∴|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=cosθ．θ∈（0，π）．
对于p₁：|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|?

a

2+

b

2+2

a

•

b

＞

a

2+

b

2-2

a

•

b

?

a

•

b

=cosθ＞0?θ∈（0，

π

2

），因此正确；
对于p₂：由命题p₁正确可知：|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|?θ∈（

π

2

，π），不正确；
对于p₄：若A，B，C共线?存在实数k使得

AB

=k

AC

，因此，λ

a

+

b

=k（

a

+μ

b

），∴

λ=k 1=kμ

，?λ•μ=1．因此是真命题；
对于p₃：由命题p₄正确，可知命题p₃不正确．
综上可得：只有命题p₁，p₄正确．
故选：A．

点评：本题考查了向量的数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．