Question

20．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且0是函数y=f（x）-1的一个零点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，1]时，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x，得到系数的关系，解得a，b，c，进而得到解析式；
（2）由题意可得x²-3x+1＞m，恒成立，令g（x）=x²-3x+1 x∈[-2，1]，由单调性求得最小值即可．

解答 解：（1）因为f（x）是二次函数，
所以设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
因为0是y=f（x）-1的一个零点，
所以f（0）-1=0，所以c=1，
又因为f（x+1）-f（x）=2x，
即a（x+1）²+b（x+1）+c-ax²-bx-c=2x，
所以2（a-1）x+（a+b）=0，
所以2（a-1）=a+b=0，所以a=1，b=-1
所以f（x）=x²-x+1；
（2）不等式x²-x+1＞2x+m可化为x²-3x+1＞m，
令g（x）=x²-3x+1 x∈[-2，1]，
因为g（x）的对称轴为$x=\frac{3}{2}$，
所以g（x）在[-2，1]上是单调递减的，
所以g（x）_min=g（1）=-1，
所以m＜-1．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，同时考查二次不等式恒成立问题，注意转化为求二次函数在闭区间的最值问题，属于中档题．