Question

对于定义在R上的函数f（x）图象连续不断，若存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f （x）是阶数为a的回旋函数，现有下列4个命题：
①f（x）=x²必定不是回旋函数；
②若f（x）=sinωx（ω≠0）为回旋函数，则其最小正周期必不大于2；
③若指数函数为回旋函数，则其阶数必大于1；
④若对任意一个阶数为a（a≥0）的回旋函数f （x），方程f（x）=0均有实数根，其中为真命题的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,推理和证明

分析：①利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有a²+3a+1=0，故可判断；
②由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sinω（x+a）+asinωx=0对任意实数x成立，从而可求实数ω的值，可得结论；
③若指数函数y=a^x为阶数为m回旋函数，利用定义，可得m＜0；
④a=0时结论显然；当a≠0时先假设存在，利用回旋函数的定义，易得在区间（0，a）上必有一个实根．

解答： 解：①若（x+a）²+ax²=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有a=0
令x=1，则有a²+3a+1=0，显然a=0不是这个方程的解故假设不成立，该函数不是回旋函数，正确；
②由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sinω（x+a）+asinωx=0对任意实数x成立
令x=0，可得sinωa=0，令x=

π

2

，可得cosωa=-a，故a=±1，ω=kπ（k为整数），所以T=|

2

k

|≤2，所以正确；
③若指数函数y=a^x为阶数为m回旋函数，则a^x+m+ma^x=0，∴a^m+m=0，∴m＜0，故不正确；
④如果a=0，显然f（x）=0，则显然有实根．下面考虑a≠0的情况．
若存在实根x₀，则f（x₀+a）+af（x₀）=0，即f（x₀+a）=0说明实根如果存在，那么加a也是实根．因此在区间（0，a]上必有一个实根．则：f（0）f（a）＜0，由于f（0+a）+af（0）=0，则f（0）=

-f(a)

a

，只要a＞0，即可保证f（0）和f（a）异号．综上a≥0，即对任意一个阶数为a（a≥0）的回旋函数f （x），方程f（x）=0均有实数根，正确．
故答案为：①②④．

点评：本题是新定义题，关键是理解新定义，利用新定义时，应注意赋值法的运用