Question

17．若直线 2ax-by+2=0 （a＞0，b＞0）被圆 x²+y²+2x-4y+1=0 截得的弦长为4，则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． $5+2\sqrt{6}$
• D． $6+2\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由已知条件得出直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，从而得出关于a、b的关系式，再利用基本不等式的性质即可求出．

解答 解：由圆x²+y²+2x-4y+1=0化为（x+1）²+（y-2）²=4，可知圆心C（-1，2），半径r=2．
∵直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，
∴此直线经过圆心（-1，2）
∴-2a-2b+2=0，化为a+b=1．
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=（a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$）=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}{b}$≥5+2$\sqrt{6}$，当且仅当a+b=1，$\frac{2b}{a}$=$\frac{3a}{b}$，即a=$\sqrt{6}$-2，b=3-$\sqrt{6}$时取等号．
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值是5+2$\sqrt{6}$．
故选：C．

点评 熟练掌握直线与圆相交问题的弦长问题和基本不等式的性质是解题的关键．