Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）、B（1，0），动点P满足

AB

•

AP

=6|

PB

|．
（1）求点P的轨迹C的方程．
（2）若直线y=x+b（b＞0）与轨迹C相交于M、N两点，直线y=x-b与轨迹C相交于P、Q两点，顺次连接M、N、P、Q得到的四边形MNPQ是菱形，求b．

Answer 1

分析：（1）设出P的坐标，则

AB

，

AP

和

PB

可表示出，根据

AB

•

AP

=6|

PB

|整理求得P的轨迹方程．
（2）设出M，N的坐标，利用对称性可推断出P，Q的坐标，因为MNPQ是菱形，判断出MP⊥NQ，

MP

•

NQ

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，由直线与椭圆的方程联立消去y后，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用x₁x₂+y₁y₂=0，求得b．

解答：解：（1）设P（x，y），则

AB

=(-3，0)，

AP

=(x-4，y)，

PB

=(1-x，-y)，
因为

AB

•

AP

=6|

PB

|，所以-3(x-4)=6

(x-1)2+y2

，
化简整理得点P的轨迹C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由C的对称性，得P（-x₁，-y₁）、Q（-x₂，-y₂），
因为MNPQ是菱形，所以MP⊥NQ，

MP

•

NQ

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=x+b

得7x²+8bx+（4b²-12）=0，x1+x2=-

8b

7

，x1x2=

4b2-12

7

x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=b2-

24

7

=0，
检验知，此时△=(8b)2-4×7×(4b2-12)=336-48b2=

1200

7

＞0，
所以b=

2 42

7

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，轨迹方程问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．