Question

已知a∈R，函数f（x）=-ax，x∈[0，+∞）
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．
（2）若f（x）的值域为（0，1]，求a的值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-a．当x∈（0，+∞）时，0＜＜1，（2分）
f′（x）的取值范围是（-a，1-a）．
f（x）为增函数当且仅当-a≥0，即a≤0； （4分）
f（x）为减函数当且仅当1-a≤0，即a≥1．
所以，使得f（x）是单调函数的a的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞） （6分）
（2）①若a≤0则由（1）f（x）单增，
f（x）＞f（10）=1，当x∈（0，+∞）时，
f（x）的值域不是（0，1]． （7分）
②若a≥1则由（1）f（x）单调递减，其中f（0）=1
（i）若a＞1，则由f（x）=0，
得x=．当x∈（，+∞）时，
f（x）＜f（）=0，f（x）的值域不是（0，1]（8分）
（ii）若a=1，则f（x）=（-x）==0
f（x）的值域是（0，1]（10分）
③若0＜a＜1，则在x∈（0，+∞）内，
由f′（x）＜0，得0＜x＜．f（x）在（0，）单调递减，
由f′（x）＞0，得x＞，f（x）在（，+∞）单调递增．
由f（x）=1，得x=
=×＞，
所以，当x∈（，+∞）时，f（x）＞f（）=1
此时，f（x）的值域不是（0，1]（12分）
综上，使得f（x）的值域为（0，1]的a的值为1．（13分）
分析：（1）先求出导函数f′（x）=-a，然后求出当x∈（0，+∞）时f′（x）的取值范围，然后根据函数的单调性与导数符号的关系建立不等关系解之即可；
（2）讨论a，若a≤0则根据单调性求出f（x）的值域进行判定，若a＞1时求出f（x）的值域进行判定，若a=1，则f（x）=（-x）==0，从而f（x）的值域是（0，1]符合题意，若0＜a＜1，则在x∈（0，+∞）内，讨论函数的单调性可求出函数f（x）的值域进行判定，从而得到结论．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．