Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求a_n；
（Ⅱ）已知集合A={x|x²+a≤（a+1）x}，问是否存在实数a，使得对于任意的n∈N^*
都有S_n∈A？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由条件构造等式（a-1）S_n-1=a（a_n-1-1） 与已知条件作差求出数列{a_n}的递推公式，再对数列{a_n}的递推公式变形即可证数列{a_n}是等比数列，再代入等比数列的通项公式即可求出a_n；
（Ⅱ）先对a分情况讨论分别求出对应的集合A和S_n，再分别看是否满足对于任意的n∈N^*都有S_n∈A．进而求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，∵（a-1）S₁=a（a₁-1），∴a₁=a（a＞0）（1分）
n≥2时，由（a-1）S_n=a（a_n-1）（a＞0）
得（a-1）S_n-1=a（a_n-1-1）
∴（a-1）a_n=a（a_n-a_n-1），变形得：

an

an-1

=a（n≥2）（4分）
故{a_n}是以a₁=a为首项，公比为a的等比数列，∴a_n=aⁿ（6分）
（Ⅱ）（1）当a=1时，A={1}，S_n=n，只有n=1时S_n∈A，
∴a=1不适合题意（7分）
（2）a＞1时，A={x|1≤x≤a}，S₂=a+a²＞a，∴S₂∉A，
即当a＞1时，不存在满足条件的实数a（9分）
（3）当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}
而S_n=a+a²+…aⁿ=

a

1-a

(1-an)∈[a，

a

1-a

)
因此对任意的n∈N^*，要使S_n∈A，
只需0＜a＜1，

a

1-a

≤1解得0＜a≤

1

2

（11分）
综上得实数a的范围是（0，

1

2

]．（12分）

点评：本题第二问涉及到一元二次不等式的解法．在解一元二次不等式时，由于不等式的解集有对应方程的根决定，所以要先求对应方程的根，在根据根的大小以及开口方向写出解集，当不确定两个根的大小时，一定要分情况讨论．