Question

已知抛物线C：y²=8x，过点P（2，0）的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则

OA

•

OB

的值为（　　）

• A、-16
• B、-12
• C、4
• D、0

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线y²=8x与过其焦点（2，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答： 解：由题意知，抛物线y²=8x的焦点坐标为（2，0），∴直线AB的方程为y=k（x-2），
由

y2=8x y=k(x-2)

得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁•x₂=4，x₁+x₂=

4k2+8

k2

y₁•y₂=k（x₁-2）•k（x₂-2）=k²[x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4]=k²[4-2×

4k2+8

k2

+4]=-16
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=4-16=-12，
故选B．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于中档题．