Question

已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a），
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
（2）若a=2，圆O上有一动点N（x₀，y₀），设线段MN上一点P满足MP=2PN，求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）由条件知点M在圆O上，从而a=±

3

，由此能求出切线方程．
（2）由MP=2PN，设P（x，y），M（1，2），N（x₀，y₀），则（x-1，y-2）=2（x₀-x，y₀-y），由此得

x0= 3x-1 2 y0= 3y-2 2

，再由动点N（x₀，y₀）在圆上，能求出点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）由条件知点M在圆O上，
所以，1+a²=4，即a=±

3

，
当a=

3

时，点M为（1，

3

），kOM=

3

，k切线=-

3

3

，
此时，切线方程为y-

3

=-

3

3

（x-1），
即x+

3

y-4=0．
当a=-

3

时，点M为（1，-

3

），

k

OM

=-

3

，k_切线=

3

3

，
此时，切线方程为y+

3

=

3

3

(x-1)，
即x-

3

y-4=0．
所以，所求的切线方程为x+

3

y-4=0或x-

3

y-4=0．
（2）由MP=2PN，设P（x，y），M（1，2），N（x₀，y₀），
则（x-1，y-2）=2（x₀-x，y₀-y），
∴

x0-1=2x0-2x y-2=2y0-2y

，解得

x0= 3x-1 2 y0= 3y-2 2

，
∵动点N（x₀，y₀）在圆上，
∴

(3x-1)2

4

+

(3y-2)2

4

=4，
即（3x-1）²+（3y-2）²=16，
∴点P的轨迹方程为（3x-1）²+（3y-2）²=16．

点评：本题考查圆的切线方程和点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．