Question

已知数列{a_n}满足：a_n+1=a_n+2，a₁=3，前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得数列{a_n}是公差为2，首项为a₁=3的等差数列，由此能求出a_n=2n+1．
（2）由S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n（n+2），利用裂项求和法能求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值．

解答： 解：（1）因为a_n+1=a_n+2，所以a_n+1-a_n=2，
所以数列{a_n}是公差为2，首项为a₁=3的等差数列，…（4分）
故a_n=3+2（n-1）=2n+1．…（6分）
（2）由（1）知S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n（n+2），…（8分）
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．…（12分）

点评：本题考查数列{a_n}的通项公式的求法，考查

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

的值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．