Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3n³+n（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足．T_n=b₁+b₂+…+b_n．
（i）证明：；
（ii）是否存在最大的正数k，使不等式3T_n≥log₂k+log₂a_n+1，对一切n∈N^*都成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n-1，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由，知+=．要证：，即证：，由此入手能够使原不等式得证．

（3）假设存在最大正数k，使不等式成立．即3T_n≥log₂k（3n+2），所以，由此能够证明存在最大正数k．
解答：解：（1）n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n-1，
∵n=1时，a₁=S₁=2满足上式
∴a_n=3n-1（n∈N⁺）．
（2）由（1）得：，
∴+
=．
要证：
即证：，
即：（³，
令，
∵-
=＞，
∴g（n+1）＞g（n）．即g（n）为增．从而，
∴ 从而原不等式得证．

（3）假设存在最大正数k，使不等式成立．即3T_n≥log₂k（3n+2），
∴，
∴≥，
∴，
由（2）知为增．
∴，
∴，
∴存在最大正数k=．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，证明和判断是否存在最大的正数k，使不等式3T_n≥log₂k+log₂a_n+1，对一切n∈N^*都成立．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．