Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证：x＞1时，f（x）＜$\frac{2}{3}$x³．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，（x＞0），由此利用导数性质能求出f（x）的单调递区间．
（2）令$g（x）=\frac{2}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-lnx$，则${g^'}（x）=\frac{{（x-1）（2{x^2}+x+1）}}{x}$，由此利用导数性质能证明$\frac{1}{2}{x^2}+lnx＜\frac{2}{3}{x^3}$．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，（x＞0）．
由f′（x）＞0得，x＞1，即f（x）在（1，+∞）上是增函数．
由f′（x）＜0得，0＜x＜1．∴f（x）在（0，1）上是减函数．
∴f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）．…（6分）
证明：（2）令$g（x）=\frac{2}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-lnx$，
则${g^'}（x）=\frac{{（x-1）（2{x^2}+x+1）}}{x}$，
当x＞1时，g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上是增函数，
故g（x）＞g（1），即$\frac{2}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-lnx＞\frac{1}{6}＞0$，
∴$\frac{1}{2}{x^2}+lnx＜\frac{2}{3}{x^3}$．…（13分）

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．