Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4．求：
（1）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4的单调区间；
（2）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4的单调区间在[0，3]上的极值及最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值．

解答 解：（1）f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）＞0 得x＜-2 或 x＞2
令f′（x）＜0 得-2＜x＜2
所以函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4的单调递增区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；
所以函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4的单调递减区间为（-2，2）；
（2）f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=2．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-	0	+
f（x）	4	单调递减	极小值-$\frac{4}{3}$	单调递增	1

∴函数f（x）=$\frac{1}{3}$x^3-4x+4在[0，3]上有极小值且f（x）极小值为-$\frac{4}{3}$；最大值为4，最小值为-$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．