Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-5x+12，x≥2}\end{array}\right.$，若存在实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则a+b+c+d的取值范围是（　　）

• A． （12，$\frac{25}{2}$）
• B． （16，24）
• C． （12，+∞）
• D． （18，24）

Answer 1

分析 画出函数的图象，判断二次函数的对称轴，得到c+d的值，判断判断a+b的范围即可．

解答 解：如图函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-5x+12，x≥2}\end{array}\right.$，的图象，
二次函数的对称轴为：x=5，f（a）=f（b）=f（c）=f（d），d＞c＞b＞a＞0，
由4|log₂x|=$\frac{1}{2}×{2}^{2}-10+12$=4，
解得x=$\frac{1}{2}$或x=2．
可得c+d=10，而a+b∈（2，$\frac{5}{2}$）．
则a+b+c+d的取值范围是：（12，$\frac{25}{2}$）．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用，利用函数的图象以及函数的零点判断求解是解题的关键，考查数形结合思想以及转化思想的应用．