Question

20．已知函数f（x）=2xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）经过点（0，-2）作函数f（x）图象的切线，求该切线的方程；
（3）当x∈（1，+∞）时f（x）＜λ（x²-1）恒成立，求常数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间）
（2）设切点的坐标为（x₀，2x₀lnx₀），设切线的斜率为k，根据斜率公式和导数的几何意义即可求出斜率，问题，问题得以解决；
（3）构造g（x）=2lnx-λ（x-$\frac{1}{x}$），则g（x）＜0在x∈（1，+∞）时恒成立，求导，再构造函数h（x）=-λx²+2x-λ，对λ进行分类讨论，利用其导函数求出函数的最值即可求实数λ的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2xlnx，x＞0，
∴f′（x）=2lnx+2，
令f′（x）＞0得增区间（$\frac{1}{e}$，+∞），
令f′（x）＜0得减区间（0，$\frac{1}{e}$）；
（2）设切点的坐标为（x₀，2x₀lnx₀），
设切线的斜率为k，一方面k=$\frac{2{x}_{0}ln{x}_{0}-（-2）}{{x}_{0}-0}$，
另一方面k=f′（x₀）=2lnx₀+2，
从而有$\frac{2{x}_{0}ln{x}_{0}-（-2）}{{x}_{0}-0}$=2lnx₀+2，
化简得x₀=1，
从而切点坐标为（1，0），
∴切线方程为y=2x-2；
（3）由已知x∈（1，+∞）时2xlnx＜λ（x²-1）恒成立，等价于2lnx＜λ（x-$\frac{1}{x}$）在x∈（1，+∞）恒成立
构造g（x）=2lnx-λ（x-$\frac{1}{x}$），则g（x）＜0在x∈（1，+∞）时恒成立
由g（2）＜0即2ln2-$\frac{3}{2}$λ＜0得必要条件λ＞0，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}$-λ（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-λ{x}^{2}+2x-λ}{{x}^{2}}$，
记h（x）=-λx²+2x-λ，判别式△=4-4λ²，
若λ≥1，则△≤0，且h（x）开口向下，故h（x）≤0恒成立，此时g′（x）≤0恒成立，
从而g（x）在（1，+∞）上单调递减，故g（x）＜f（1）=0，符合题意
若0＜λ＜1，则△＞0，此时h（x）=0有两个实数根x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，由韦达定理得
x₁+x₂=$\frac{2}{λ}$＞0，x₁，•x₂=1＞0，故x₁，x₂均为正数，且x₁＜1＜x₂，
从而h（x）=0在（1，+∞）上有唯一的实数根x₂，结合图象知：
当x∈（1，x₂）时h（x）＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，x₂）上单调递增，
故当x∈（1，x₂）时，g（x）＞g（1）=0，不符合题意
综上：λ的取值范围为[1，+∞）．

点评 本题考查了导数求闭区间上函数的最值和单调性，导数的几何意义以及斜率公式，以及不等式恒成立的问题，属于中档题．