Question

12．已知（x+$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶（a＞0）的展开式中常数项为240，则（x+a）•（x-2a）²的展开式中x²项的系数为（　　）

• A． 10
• B． 8
• C． -6
• D． 4

Answer 1

分析 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中x的指数为0求出r的值，将r的值代入通项求出展开式的常数项，再展开即可求出答案．

解答 解：（x+$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁶展开式的通项为T_r+1=a^rC₆^rx${\;}^{6-\frac{3}{2}r}$，
令6-$\frac{3}{2}$r=0得r=4，
∴展开式的常数项为a⁴C₆⁴=15a⁴，
∴15a⁴=240，
∵a＞0，
∴a=2，
∴（x+2）•（x-4）²=x³-6x²+32式中x²项的系数为-6，
故选：C．

点评 本题主要考查了二项式定理，属于基础知识、基本运算的考查．这类题目一般为容易题目，解决过程中的这种“先化简再展开”的思想在高考题目中常有体现的．本题解题的关键是写出通项，这是解这种问题的通法．