Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且an+2Sn•Sn-1=0，(n≥2，n∈N)，a1=

1

2

．
（1）求证：{

1

Sn

}为等差数列；
（2）求a_n；
（3）若b_n=2•（1-n）•a_n，求

lim

n→∞

bn+2

bn+1

．

Answer 1

分析：（1）当n≥2时，由已知有S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0易知S_n≠0，从而可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2即证．
（2）由（1）可得Sn=

1

2n

，利用递推公式an=Sn-Sn-1=

1

2

(

1

n

-

1

n-1

)及a₁=S₁可求
（3）易知b₁=0，n≥2时bn=

1

n

．代入可求极限

解答：解：（1）当n≥2时，由已知有S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0易知S_n≠0
故

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
∴{

1

Sn

}为首项为2，公差为2的等差数列．
（2）易知Sn=

1

2n

，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2

(

1

n

-

1

n-1

)
∴an=

1 2                    n=1 1 2 ( 1 n - 1 n-1 )  ，n≥2

（3）易知b₁=1-1=0，n≥2时bn=

1

n

．
∴

lim

n→∞

bn+2

bn+1

=

lim

n→∞

n+1

n+2

=1

点评：本题主要考查 了利用数列的递推公式an=Sn-Sn-1=

1

2

(

1

n

-

1

n-1

)及a₁=S₁求解数列的通项公式，数列极限的求解，属于中档试题