Question

19．已知$α，β∈（0，\frac{π}{2}），sin（α+β）=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}，sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，则sinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由条件求得cosα=$\frac{1}{7}$，α+β为钝角，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$．再根据sinβ=sin[（α+β）-α]利用两角差的正弦公式计算求得结果．

解答 解：∵已知$α，β∈（0，\frac{π}{2}），sin（α+β）=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}，sinα=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴α∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），∴cosα=$\frac{1}{7}$．
再根据sin（α+β）＜sinα，故α+β为钝角，故cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{11}{14}$．
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{1}{7}$-（-$\frac{11}{14}$）×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，属于基础题．