Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S_n．

Answer 1

分析：（1）首先判断数列{a_n}为等差数列，由a₁=8，a₄=2求出公差，代入通项公式即得．
（2）首先判断哪几项为非负数，哪些是负数，从而得出当n＞5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）求出结果；当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n当，再利用等差数列的前n项和公式求出答案．

解答：解：（1）由题意，a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴数列{a_n}是以8为首项，-2为公差的等差数列
∴a_n=10-2n，n∈N
（2）（2）∵a_n=10-2n，令a_n=0，得n=5．
当n＞5时，a_n＜0；当n=5时，a_n=0；当n＜5时，a_n＞0．
∴当n＞5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-（a₆+a₇+…+a_n）=T₅-（T_n-T₅）=2T₅-T_n，T_n=a₁+a₂+…+a_n．
当n≤5时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=T_n．
∴Sn=

-n2+9nn≤5 n2-9n+40n≥6

，n∈N

点评：考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，求出公差，用代入法直接可求；（2）问的关键是断哪几项为非负数，哪些是负数，属于中档题．