【题目】如图所示,和
所在平面互相垂直,且
分别为
的中点.
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)以为坐标原点,在平面
内过
作垂直
的直线,并将其作为
轴,
所在直线为
轴,在平面
内过
作垂直
的直线,并将其作为
轴,建立如图所示空间直角坐标系,利用向量的运算,即可证得
;(2)求得平面
的一个法向量为
,设平面
的法向量
,利用法向量所成的角,即可求解二面角的大小.
试题解析:(1)证明:由题意,以为坐标原点,在平面
内过
作垂直
的直线,并将其作为
轴,
所在直线为
轴,在平面
内过
作垂直
的直线,并将其作为
轴,建立如图所示空间直角坐标系,易得
,因而
,
因此,从而
.
(2)在图中,平面的一个法向量为
,设平面
的法向量
,
又,得其中一个
,
设二面角的大小为
,且由题知
为锐角,
则,因此
,
即所求二面角正弦值为.
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【题目】已知动圆与圆
相切,且与圆
相内切,记圆心
的轨迹为曲线
;设
为曲线
上的一个不在
轴上的动点,
为坐标原点,过点
作
的平行线交曲线
于
两个不同的点.
(1)求曲线的方程;
(2)试探究和
的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由;
(3)记的面积为
,
的面积为
,令
,求
的最大值.
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【题目】如图,四棱锥中,
平面
,四边形
是直角梯形,其中
,
.
,
.
(1)求异面直线与
所成角的大小;
(2)若平面内有一经过点
的曲线
,该曲线上的任一动点
都满足
与
所成角的大小恰等于
与
所成角.试判断曲线
的形状并说明理由;
(3)在平面内,设点
是(2)题中的曲线
在直角梯形
内部(包括边界)的一段曲线
上的动点,其中
为曲线
和
的交点.以
为圆心,
为半径
的圆分别与梯形的边
、
交于
、
两点.当
点在曲线段
上运动时,试求圆半径
的范围及
的范围.
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【题目】椭圆与
轴,
轴的正半轴分别交于
两点,原点
到直线
的距离为
,该椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线
与椭圆交于两个不同的点
,求线段
的垂直平分线在
轴上截距的取值范围.
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【题目】已知抛物线的焦点为
为
上异于原点的任意一点,过点
的直线
交
于另一点
,交
轴的正半轴于点
,且有
.当点
横坐标为
时,
为正三角形.
(1)求的方程;
(2)若直线,且
和
有且只有一个公共点
.
①证明直线过定点,并求出定点坐标;
②的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,在四棱锥中,底面
是正方形,
.
(1)如图2,设点为
的中点,点
为
的中点,求证:
平面
;
(2)已知网格纸上小正方形的边长为,请你在网格纸上用粗线画图1中四棱锥
的府视图(不需要标字母),并说明理由.
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【题目】某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家,现对两个区域的16个厂家进行评估,综合得分情况如茎叶图所示.
(1)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高;
(2)规定85分以上(含85分)为优秀厂家,若从该两个区域各选一个优秀厂家,求得分差距不超过5分的概率.
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【题目】记表示
,
中的最大值,如
.已知函数
,
.
(1)设,求函数
在
上零点的个数;
(2)试探讨是否存在实数,使得
对
恒成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,说明理由.
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