Question

【题目】如图，四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，其中，. ，.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若平面内有一经过点的曲线，该曲线上的任一动点都满足与所成角的大小恰等于与所成角.试判断曲线的形状并说明理由；

（3）在平面内，设点是（2）题中的曲线在直角梯形内部（包括边界）的一段曲线上的动点，其中为曲线和的交点.以为圆心，为半径的圆分别与梯形的边、交于、两点.当点在曲线段上运动时，试求圆半径的范围及的范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2)双曲线；(3)，.

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件建立空间直角坐标系运用向量的数量积公式求解；(2)在空间坐标系中借助题设建立方程探求；(3)依据题设建立函数关系,运用二次函数的知识及不等式的性质等知识分析探求.

试题解析：

（1）如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，建立空间直角坐标系.于是有、，则有,又

则异面直线与所成角满足，

所以，异面直线与所成角的大小为.

（2）如图，以为原点，直线为轴、直线为轴、直线为轴，建立空间直角坐标系.设点，点、点、点，

则，，

则，

，

化简整理得到，

则曲线是平面内的双曲线.

（3）解：在如图所示的的坐标系中，因为、、，设.则有,故的方程为，

代入双曲线:的方程可得，，其中.

因为直线与双曲线交于点,故.进而可得，即.故双曲线在直角梯形内部（包括边界）的区域满足，.又设为双曲线上的动点，.

所以，

因为，所以当时，；

当时，.

而要使圆与、都有交点，则.

故满足题意的圆的半径取值范围是.

因为,所以体积为.故问题可以转化为研究的面积.又因为为直角，所以必为等腰直角三角形.

由前述，设，则，

故其面积，所以.

于是，.

(当点运动到与点重合时，体积取得最大值；当点运动到横坐标时，即长度最小时，体积取得最小值）