Question

【题目】已知函数

（Ⅰ） 当时，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，的图象恒在的图象上方，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，单调增区间是，单调减区间是；当时，单调增区间是，，单调减区间是；当时，单调增区间是，无减区间；

（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求得导函数，然后分、、讨论导函数与0之间的关系，由此求得函数的单调区间；

（Ⅱ）首先结合（Ⅰ）将问题转化为对恒成立，然后令，从而通过求导函数，再构造新函数得到函数的单调性，进而求得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）

当时，，时，，单调递减

时，，单调递增

当时，令得．

(i) 当时，，故：

时，，单调递增，

时，，单调递减，

时，，单调递增；(ii)当时，， 恒成立，

在上单调递增，无减区间；

综上，当时，的单调增区间是，单调减区间是；

当时，的单调增区间是，单调减区间是；

当时，的单调增区间是，无减区间.

（Ⅱ）由知

当时，的图象恒在的图象上方，

即对恒成立

即 对恒成立

记 ，

(i) 当时，恒成立，在上单调递增，

， 在上单调递增

，符合题意；

(ii) 当时，令得

时，，在上单调递减

时, 在上单调递减，

时,，不符合题意

综上可得的取值范围是.