Question

【题目】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交抛物线于两点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）设出抛物线的标准方程，列出方程解得即可；（2）设，，联立直线与抛物线的方程消元，运用韦达定理得的值，再证即．

试题解析：

（1）由题意知，抛物线的方程为，则

点的坐标为，点的一个坐标为，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（2）设两点坐标分别为，

法一：因为直线的斜率不为0，设直线的方程为，

由方程组得，

，

因为，

所以

所以.

法二：①当的斜率不存在时，的方程为，

此时，

即，

有，

所以.

②当的斜率存在时，设的方程为，

方程组得，

所以，

.因为，

所以，

所以，

由①②得.