Question

已知椭圆的对称轴为坐标轴，与直线x+y=1交于两点A、B，又|AB|=2

2

，AB中点与椭圆中心连线的斜率为

2

2

，求椭圆方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），椭圆方程为ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b），由

ax2+by2=1 x+y=1

，得a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，由已知条件推导出b=

2

a，（

2b

a+b

）²-4•

b-1

a+b

=4，由此能求出椭圆的方程．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），椭圆方程为ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b），
则A、B的坐标是方程组

ax2+by2=1 x+y=1

的解．
即：a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因为

y1-y2

x1-x2

=-1，所以

y1+y2

x1+x2

=

a

b

，
设AB中点C（x_C，y_C），则

2yC

2xC

=

a

b

=

2

2

，所以b=

2

a①
再由方程组消去y得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
由|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(x1-x2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

2

，
得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即（

2b

a+b

）²-4•

b-1

a+b

=4．②
由①②解得a=

1

3

，b=

2

3

，
故所求的椭圆的方程为

x2

3

+

2 y2

3

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．