Question

设函数f（x）=

ax2+bx

，则是否存在实数a，使得至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：把根号里面的式子看成关于x的二次函数，由于二次项前面的系数含有参数，所以它的定义域和值域，都与a有关，即要分三类情况进行分类讨论．

解答： 解：存在．∵b＞0，
①当 a＞0时，定义域是包含x=-

b

a

＜0，值域是f（x）≥0，不可能相等；
②当 a=0时，定义域是x≥0，值域也是f（x）≥0，符合题意；
③当a＜0时，定义域是[0，-

b

a

]，值域是[0，

b2 -4a

]相同就有-

b

a

=

b2 -4a

，解得a=-4；
综合以上得：a=0或a=-4时函数f（x）的定义域和值域相同．

点评：本题是考查二次函数的定义和值域问题，这里要对参数a进行分类讨论，分小于零，等于零各大于零三类．