Question

（理）已知中心在原点O，左焦点为F₁（-1，0）的椭圆C₁的左顶点为A，上顶点为B，F₁到直线AB的距离为

7

7

|OB|．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过点P（3，0）作直线l，使其交椭圆C₁于R、S两点，交直线x=1于Q点．问：是否存在这样的直线l，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（3）若椭圆C₁方程为：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），椭圆C₂方程为：

x2

m2

+

y2

n2

=λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C₂是椭圆C₁的λ倍相似椭圆．已知C₂是椭圆C₁的3倍相似椭圆，若直线y=kx+b与两椭圆C₁、C₂交于四点（依次为P、Q、R、S），且

PS

+

RS

=2

QS

，试研究动点E（k，b）的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定直线AB方程，利用F₁到直线AB的距离为

7

7

|OB|，结合b²=a²-1，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C₁的方程；
（2）分类讨论，设直线l方程为：x=my+3，代人椭圆C₁的方程，利用|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项，结合韦达定理，即可求出直线l的方程；
（3）求出椭圆C₁的3倍相似椭圆C₂的方程，将y=kx+b分别代人椭圆C₁、C₂方程，利用韦达定理，结合

PS

+

RS

=2

QS

，即可求出动点E（k，b）的轨迹方程．

解答： 解：（1）设椭圆C₁方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴直线AB方程为：

x

-a

+

y

b

=1…1分
∴F₁（-1，0）到直线AB距离为d=

|b-ab|

a2+b2

=

7

7

b，
∴a²+b²=7（a-1）²…2分
又b²=a²-1，解得：a=2，b=

3

…3分
故：椭圆C₁方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．…4分
（2）当直线l与x轴重合时，|PQ|=2，而|PR|•|PS|=1×5=5，∴|PQ|²≠|PR|•|PS|
若存在直线l，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项，
则可设直线l方程为：x=my+3…5分
代人椭圆C₁的方程，得：3（my+3）²+4y²=12，即：（3m²+4）y²+18my+15=0
∴△=（18m）²-4×15（3m²+4）=48（3m²-5）
记R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），
∴y1y2=

15

3m2+4

，y0=-

2

m

…7分
∵|PQ|²=|PR|•|PS|，即

|PR|

|PQ|

=

|PQ|

|PS|

⇒

y1

y0

=

y0

y2

，
∴y1y2=

y

2 0

∴

15

3m2+4

=

4

m2

，解得：m2=

16

3

，符合△＞0，
∴m=±

4 3

3

…9分
故存在直线l，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中项，其方程为x=±

4 3

3

y+3，即：y=±

3

4

(x-3)…10分
（3）椭圆C₁的3倍相似椭圆C₂的方程为：

x2

12

+

y2

9

=1…11分
设Q、R、P、S各点坐标依次为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃）、（x₄，y₄）
将y=kx+b代人椭圆C₁方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0
∴△1=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)＞0（*）
此时：x1+x2=-

8kb

3+4k2

，x1x2=

4b2-12

3+4k2

⇒|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3(4k2+3-b2)

3+4k2

…13分
将y=kx+b代人椭圆C₂方程，得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-36=0
∴x3+x4=-

8kb

3+4k2

，x3x4=

4b2-36

3+4k2

⇒|x3-x4|=

4 3(12k2+9-b2)

3+4k2

…14分
∴x₁+x₂=x₃+x₄，可得线段PS、QR中点相同，∴|PQ|=|RS|
由

PS

+

RS

=2

QS

⇒

PQ

=

QR

，∴|PS|=3|QR|，可得：|x₃-x₄|=3|x₁-x₂|
∴

4 3(12k2+9-b2)

3+4k2

=3×

4 3(4k2+3-b2)

3+4k2

，
∴12k²+9=4b²（满足（*）式）．
故：动点E（k，b）的轨迹方程为

4b2

9

-

4k2

3

=1．…16分．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，有难度．