Question

已知f（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1（x∈（0，+∞），n∈N，n≥2）．
（1）当n=2，x∈（0，1]时，若不等式f（x）≤kx恒成立，求k的范围；
（2）试证函数f（x）在（

1

2

，1）内存在零点．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）将n=2带入原函数求出f（x），带入不等式便得：x²+x-1≤kx，这里要求k的范围，因为x＞0，所以不等式两边可同除以x，得到k≥x-

1

x

+1，所以这里只要让k大于等于x-

1

x

+1的最大值，所以转而求函数x-

1

x

+1的最大值即可．
（2）要证明函数f（x）在（

1

2

，1）内存在零点，则一定有f(

1

2

)  和f(1) 异号，光是异号还不行，一般的需要f（x）在（

1

2

，1）上单调．这些条件都找到了，这道题的答案也就接出来了．

解答： 解：（1）n=2时，f（x）=x²+x-1，所以由f（x）≤kx得：x²+x-1≤kx；
∵x＞0∴k≥x-

1

x

+1；
令g(x)=x-

1

x

+1，则g′（x）=

1

x2

+1＞0，所以g（x）在（0，1]上是增函数，g（x）_max=g（1）=1；
所以k≥1．
（2）f′（x）=x^n-1+x^n-2+…+1=

1-xn

1-x

，且在（

1

2

，1）上，0＜xⁿ＜1，1-xⁿ＞0，1-x＞0，所以在（

1

2

，1）上f′（x）＞0；
所以f（x）在（

1

2

，1）上是增函数，且f（1）=n-1＞0，f(

1

2

)=(

1

2

)n+(

1

2

)n-1+…+

1

2

-1=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-1=-(

1

2

)n＜0；
所以f（x）在（

1

2

，1）内存在唯一的零点．

点评：需注意的，或解这道题的关键点就是在所得不等式两边同除x，而第二问所用的是证明一般函数在某个区间上有零点基本方法，须记住并理解．