Question

10．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）求函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值和最大值（直接写出结果即可）：
（2）若函数g（x）=f（x²）-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{x}$在（0，t]上是减函数，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）由对勾函数的图象和性质，可分类讨论得到函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值和最大值；
（2）若函数g（x）=f（x²）-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{x}$在（0，t]上是减函数，则g′（x）≤0恒成立，解得答案．

解答 解：（1）当0＜a≤1时，函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值为1+a，最大值为3+$\frac{a}{3}$；
当1＜a≤3时，函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值为2$\sqrt{a}$，最大值为3+$\frac{a}{3}$；
当3＜a＜9时，函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值为2$\sqrt{a}$，最大值为1+a；
当a≥9时，函数f（x）在x∈[1，3]上的最小值为3+$\frac{a}{3}$，最大值为1+a；
（2）函数g（x）=f（x²）-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{x}$=x²+$\frac{4}{x}$，
则g′（x）=2x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，
若函数g（x）=f（x²）-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{x}$在（0，t]上是减函数，
则g′（x）≤0恒成立，
即g′（t）=2t-$\frac{4}{{t}^{2}}$≤0，
解得：t∈（0，$\root{3}{2}$]，
即t的最大值为$\root{3}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的值域，函数的最值及其几何意义，难度中档．