Question

15．已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，a₁=1，则a_n=（　　）

• A． 2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
• B． 2（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
• C． 2（$\frac{1}{{2}^{n}}$-1）
• D． 2（$\frac{1}{{2}^{n}}$+1）

Answer 1

分析 由a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，采用“累加法”，根据等比数列的前n项和公式，即可求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a_n+1-a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
a₂-a₁=$\frac{1}{2}$，
a₃-a₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$，
a₄-a₃=$\frac{1}{{2}^{3}}$，
…
a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
累加得：a_n-a₁=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
故选：A．

点评 本题考查根据递推公式求数列的通项公式，考查“累加法”，等比数列前n项和公式，属于中档题．