Question

3．求下列函数的解析式
（1）已知f（x+1）=x²求f（x）
（2）已知f（$\frac{1-x}{1+x}$）=x，求f（x）
（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）
（4）已知3f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=x²，求f（x）

Answer 1

分析 用换元法求得（1）和（2）中的函数的解析式；用待定系数法求得（3）中的函数解析式；用解方程组的方法，求出（4）中的函数的解析式．

解答 解：（1）∵已知f（x+1）=x² ，令x+1=t，可得x=t-1，∴f（t）=（t-1）²，∴f（x）=（x-1）²．
（2）∵已知f（$\frac{1-x}{1+x}$）=x，令 $\frac{1-x}{1+x}$=t，求得 x=$\frac{1-t}{1+t}$，∴f（t）=$\frac{1-t}{1+t}$，∴f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$．
（3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0，
∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=$\frac{1}{4}$，或k=-3，b=-$\frac{1}{2}$，求
∴f（x）=3x+$\frac{1}{4}$，或f（x）=-3x-$\frac{1}{2}$．
（4）∵已知3f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=x²   ①，∴用$\frac{1}{x}$代替x，可得3f（$\frac{1}{x}$）-f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$ ②，
由①②求得f（x）=$\frac{3}{8}$x²+$\frac{1}{{8x}^{2}}$．

点评 本题主要考查求函数的解析式常用的几种方法，属于中档题．