Question

8．如图．在四棱锥P-ABCD中．底面ABCD是平行四边形，点M为棱AB上一点AM=2MB．点N为棱PC上一点，
（1）若PN=2NC，求证：MN∥平面PAD；
（2）若MN∥平面PAD，求证：PN=2NC．

Answer 1

分析 （1）过N作NE∥CD交PD于E，连接AE，则NE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{2}{3}CD$，从而NE$\stackrel{∥}{=}$AM，于是四边形AMNE是平行四边形，得出MN∥AE，故而MN∥平面PAD；
（2）辅助线同（1），根据线面平行的性质得出MN∥AE，故而四边形AMNE是平行四边形，于是AM=NE，从而$\frac{NE}{CD}=\frac{2}{3}$，于是$\frac{PN}{PC}=\frac{2}{3}$，得出结论．

解答 证明：（1）过N作NE∥CD交PD于E，连接AE．
则$\frac{EN}{CD}=\frac{PN}{PC}=\frac{2}{3}$，
∴EN=$\frac{2}{3}CD$，
又AM=2MB，
∴AM=$\frac{2}{3}AB$．
又AB$\stackrel{∥}{=}$CD，
∴AM$\stackrel{∥}{=}$EN，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE，又MN?平面PAD，AE?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）过N作NE∥CD交PD于E，
∵NE∥CD∥AB，
∴NE∥AB，
∴A，M，N，E四点共面，
∵MN∥平面PAD，MN?平面AMNE，平面AMNE∩平面PAD=AE，
∴MN∥AE，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴NE=AM=$\frac{2}{3}AB$=$\frac{2}{3}$CD．
∴$\frac{PN}{PC}=\frac{NE}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴PN=2NC．

点评 本题考查了线面平行的判定与性质，属于中档题．