Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数在区间上单调递减，试探究函数在区间上的单调性；

（2）证明：方程在上有且仅有两解.

Answer 1

【答案】（1）单调递减.（2）见解析

【解析】

（1）对求导，，再对求导，可得递减区间，可得的取值范围，可得函数在区间上的单调性；

（2）令，因为，可令，对其求导，可得的单调性和零点，记正零点为，可得的性质及的表达式，将满足的条件代入，综合分析可得证明.

解：（1）依题意，，由，

故函数的递减区间为；而当时，

故若函数在区间上单调递减，

函数在区间上也是单调递减.

（2）令，

因为，由得，

令，则，

因为，且，所以必有两个异号的零点，记正零点为，

则时，，单调递减；时，，单调递增，若在上恰有两个零点，则，

由得，

所以，又因为的对称轴为，

所以，

所以，所以，

又，

设中的较大数为，则，

故当时，方程在上有且仅有两解.