Question

【题目】设函数，.

（1）若.

①求实数的值；

②若，证明为极值点；

（2）求实数的取值范围，使得对任意的恒有成立.（注：为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）①或.②见解析（2）

【解析】

（1）①求出导函数，根据即可得解，②，所以，根据导函数的零点，结合函数单调性即可得极值点；

（2）根据函数单调性分类讨论求解参数的取值范围.

解：（1）求导得

因为是的极值点，所以，

解得或.

（2）因为，所以.

所以，（），

记，则，

所以在上单调递增，

而，，

又在上单调递增，

所以存在唯一使，

所以时，，，

即时，，单调递增；

而时，，，

所以时，，

所以为的极小值点.

（2）①当，对于任意的实数，恒有成立.

②当时，由题意，首先有，

解得，

由（1）知，

令，则，，

且.

又在内单调递增，所以函数在内有唯一的零点，记此零点为，则，.

从而，当时，；

当时，；

当时，.

即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

所以要使对恒成立，只要

①②成立.

由知③

将③代入①得又，

注意到函数在内单调递增，故.

再由③以及函数在内单调递增，可得.

由②解得，

所以，

综上，的取值范围为.

（2）解法2：

①当，对于任意的实数，恒有成立.

②当时，，令，

以下分四种情况：

（一），，所以在上递增，故

，所以，无解

（二），，在上递增，故

所以，所以在上递增，故

由（一）可知，无解

（三），，，

，，

且在上递增，所以存在唯一的，使得

且，在上的正负性如下

	+	0	-	0	+
	增	极大	减	极小	增

故且，得且（*），

∵代入（*）式，得

函数在内单调递增，故.

再由函数在内单调递增，可得.

（四），存在 ，不符合条件.

综上，的取值范围为.