Question

【题目】数列，，满足：，，．

（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；

（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；

（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）数列成等差数列．

【解析】

试题（１）证明一个数列为等差数列，一般从等差数列定义出发：，其中为等差数列的公差（2）同（1），先根据关系式，解出，再从等差数列定义出发，其中分别为等差数列，的公差（3）探究性问题，可将条件向目标转化，一方面，所以，即，另一方面，所以，整理得，从而，即数列成等差数列．

试题解析：证明：（1）设数列的公差为，

∵，

∴，

∴数列是公差为的等差数列．

（2）当时，，

∵，∴，∴，

∴，

∵数列，都是等差数列，∴为常数，

∴数列从第二项起为等差数列．

（3）数列成等差数列．

解法１ 设数列的公差为，

∵，

∴，∴， ，，

∴，

设，∴，

两式相减得：，

即，∴，

∴，

∴，

令，得，

∵，∴，∴，

∴，∴，

∴数列（）是公差为的等差数列，

∵，令，，即，

∴数列是公差为的等差数列．

解法2 ∵，，

令，，即，

∴，，

∴，

∵数列是等差数列，∴，

∴，

∵，∴，

∴数列是等差数列．