Question

【题目】已知抛物线与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．

（1）证明：直线AB恒过定点Q；

（2）试求△PAB面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）借助导数，可求得在A，B两点的切线方程PA，PB，由于P点在两条切线上，结合方程，可得直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，可得定点.

（2）将直线AB与抛物线联立，利用弦长公式，点到直线距离公式表示三角形的底和高，继而表示面积，配方，求解最小值，即可.

（1）由求导得y′＝x，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

其中

则kPA＝x1，

PA：y﹣y1＝x1（x﹣x1），

设P（x0，kx0﹣1），

代入PA直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，

PB直线方程同理，

代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，

所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，

即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；

（2）直线l方程与抛物线方程联立，

得到x2﹣2kx+2＝0，

由于△<0,k2＜2．

将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入，

得，

所以，

，

设点P到直线AB的距离是d，

则，

所以，

所以面积最小值为．