Question

【题目】已知函数.

（1）若，证明：曲线在处的切线与直线垂直；

（2）若，当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）先求导数，可得切线的斜率，根据斜率关系可得垂直；

（2）把不等式转化为，然后构造函数确定最值进行求解.

（1）依题意，，故；

则，而直线的斜率为，故两条直线的斜率之积为；

即曲线在处的切线与直线垂直.

（2）要证，即证，即证；

当时，令，

求导可知在上单调递增，在上单调递减，令；

当时，，所以；

当时，函数单调递减，所以其最小值为，

最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，

其中，令，，令，

则；因为，所以，单调递增；

因为，，

故存在，使得，

所以在上单调递减，在单调递增，

所以，

所以时，；即，也即，

综上所述，.