Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆过以下4个不同的点：.

（1）求圆的标准方程；

（2）先将圆向左平移个单位后，再将所有点的横坐标、纵坐标都伸长到原来的倍得到圆，若两个点分别在直线和上，为圆上任意一点，且（为常数），证明直线过圆的圆心，并求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析，的值为

【解析】

（1）必在线段的中垂线上，可设圆的标准方程为，代入待定系数即可得解.

（2）通过平移伸缩可得圆：，设，可得：

，代入

，由的任意性可得解.

（1）由已知，在圆上得，必在线段的中垂线上，故可设圆的标准方程为

再将的坐标代入方程得

联立解得，，所以圆方程为

经检验得，的坐标也满足，

所以圆的标准方程为

（2）将圆向左平移个单位后得到曲线

再将所有点的横坐标、纵坐标都伸长到原来的倍得到的圆的方程为

设，则

因为，所以，且

所以

化简得，

把代入上式得，

因为是圆上任意一点，所以

解得，或

所以或

所以直线的方程为或

即直线过圆的圆心，常数的值为