Question

【题目】已知，．

（1）当时，求证：对于，恒成立；

（2）若存在，使得当时，恒有成立，试求k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）令，利用导数判断出的单调性和单调区间，得出的最大值，证明即可；

（2）由（1）易知时显然不满足，而时，时，，此时更不可能成立，当时，令，通过导数判断的单调性，证得成立即可.

（1）证明：当时，

令，，

令，即，解得或（舍）．

所以当时，，在上单调递减．

所以，

所以对于，即.

（2）由（1）知，当时，恒成立，即对于，

不存在满足条件的；

当时，对于，，此时，

所以，

即恒成立，不存在满足条件的；

当时，令，，

令，

又为一开口向下的抛物线，且时，，

又，

所以必存在，使得．

所以时，，，单调递增；

当时，，，单调递减．

当时，，即恒成立，

综上，k的取值范围为．