Question

【题目】已知f（x）=sinx﹣cosx，x∈[0，+∞）．
（1）证明： ；
（2）证明：当a≥1时，f（x）≤eax﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式 ，即不等式 ，

设 ，则g'（x）=﹣sinx+x，x∈[0，+∞），

再次构造函数h（x）=﹣sinx+x，则h'（x）=﹣cosx+1≥0在x∈[0，+∞）时恒成立，

所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，

所以h（x）≥h（0）=0，

所以g'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，

所以函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，

所以g（x）≥g（0）=0，

所以 ，

所以 ，即 成立

（2）解：由（1）的解析可知，当x∈[0，+∞）时，sinx≤x且 ，

所以 ，

当 对x∈[0，+∞）恒成立时，不等式f（x）≤eax﹣2恒成立，

不等式 ，即不等式 ，对x∈[0，+∞）恒成立，

构造函数 ，

则M'（x）=ex﹣x﹣1，

令m（x）=ex﹣x﹣1，

则m'（x）=ex﹣1，当x∈[0，+∞）时，m'（x）≥0，

故m（x）在[0，+∞）上单调递增，

所以m（x）≥m（0）=0，故M'（x）≥0，即M（x）在[0，+∞）上单调递增，

所以M（x）≥M（0）=0，

故 恒成立，

故当a≥1时， ，

即当a≥1时，不等式f（x）≤eax﹣2恒成立

【解析】（1）设 ，则g'（x）=﹣sinx+x，x∈[0，+∞），再次构造函数h（x）=﹣sinx+x，则h'（x）=﹣cosx+1≥0在x∈[0，+∞）时恒成立，可得g'（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，可得 ，即可得证．（2）由（1）可知，不等式 ，对x∈[0，+∞）恒成立，构造函数 ，令m（x）=ex﹣x﹣1，则m'（x）=ex﹣1，当x∈[0，+∞）时，m'（x）≥0，可得 恒成立，从而得证，当a≥1时，不等式f（x）≤eax﹣2恒成立．