【题目】四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,△SAD为正三角形.
(Ⅰ)点M为棱AB上一点,若BC∥平面SDM,AM=λAB,求实数λ的值;
(Ⅱ)若BC⊥SD,求二面角A-SB-C的余弦值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由线面平行的性质定理可得,据此可知四边形BCDM为平行四边形,据此可得.
(Ⅱ)由几何关系,在平面内过点作直线于点,以点E为坐标原点,EA方向为X轴,EC方向为Y轴,ES方向为Z轴建立空间坐标系,据此可得平面的一个法向量,平面的一个法向量,据此计算可得二面角余弦值为.
(Ⅰ)因为平面SDM, 平面ABCD,平面SDM 平面ABCD=DM,所以,
因为,所以四边形BCDM为平行四边形,又,所以M为AB的中点.
因为 .
(Ⅱ)因为 , ,所以平面,又因为平面,
所以平面平面,平面平面,
在平面内过点作直线于点,则平面,
在和中,因为,所以,
又由题知,所以所以,
以下建系求解.以点E为坐标原点,EA方向为X轴,EC方向为Y轴,ES方向为Z轴建立如图所示空间坐标系,
则,,,,,
,,,,
设平面的法向量,则,所,
令得为平面的一个法向量,
同理得为平面的一个法向量,
,因为二面角为钝角.
所以二面角余弦值为.
【点睛】
本题考查了立体几何中的判断定理和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,通过严密推理,明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.
(Ⅰ)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;
(Ⅱ)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图,其中当某天的派送量指标在(,](n=1,2,3,4,5)时,日平均派送量为50+2n单.若将频率视为概率,回答下列问题:
①根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列,数学期望及方差;
②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由。
(参考数据:0.62=0.36,1.42=1.9 6,2.6 2=6.76,3.42=1 1.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36)
【答案】(Ⅰ)甲方案的函数关系式为: ,乙方案的函数关系式为:;(Ⅱ)①见解析,②见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得甲方案中派送员日薪(单位:元)与送单数的函数关系式为: , 乙方案中派送员日薪(单位:元)与送单数的函数关系式为:.
(Ⅱ)①由题意求得X的分布列,据此计算可得,,.
②答案一:由以上的计算可知,远小于,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.
答案二:由以上的计算结果可以看出,,所以小明应选择乙方案.
(Ⅰ)甲方案中派送员日薪(单位:元)与送单数的函数关系式为: ,
乙方案中派送员日薪(单位:元)与送单数的函数关系式为:
(Ⅱ)①由已知,在这100天中,该公司派送员日平均派送单数满足如下表格:
单数 | 52 | 54 | 56 | 58 | 60 |
频率 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以的分布列为:
152 | 154 | 156 | 158 | 160 | |
0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
所以的分布列为:
140 | 152 | 176 | 200 | |
0.5 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
②答案一:由以上的计算可知,虽然,但两者相差不大,且远小于,即甲方案日工资收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.
答案二:由以上的计算结果可以看出,,即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望,所以小明应选择乙方案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2017年两会继续关注了乡村教师的问题,随着城乡发展失衡,乡村教师待遇得不到保障,流失现象严重,教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题,为此,某市今年要为某所乡村中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要2万元,若三年后教师严重短缺时再招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要5万元,已知现在该乡村中学无多余教师,为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数,得到如下的柱状图:记x表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师数,y表示一所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用(单位:万元),n表示今年为该乡村中学招聘的教师数,为保障乡村孩子教育不受影响,若未来三年内教师有短缺,则第四年马上招聘.
(1)若n=19,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“流失的教师数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假设今年该市为这100所乡村中学的每一所都招聘了19个教师或20个教师,分别计算该市未来四年内为这100所乡村中学招聘教师所需费用的平均数,以此作为决策依据,今年该乡村中学应招聘19名还是20名教师?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知向量 =(2cosx,t)(t∈R), =(sinx﹣cosx,1),函数y=f(x)= ,将y=f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到y=g(x)的图象且y=g(x)在区间[0, ]内的最大值为 .
(1)求t的值及y=f(x)的最小正周期;
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 g( ﹣ )=﹣1,a=2,求BC边上的高的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ).
令,得.
与的情况如上:
所以,的单调递减区间是,单调递增区间是.
(Ⅱ)当,即时,函数在上单调递增,
所以在区间上的最小值为.
当,即时,
由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,
所以在区间上的最小值为.
当,即时,函数在上单调递减,
所以在区间上的最小值为.
综上,当时,的最小值为;
当时,的最小值为;
当时,的最小值为.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点为抛物线上一点.
(1)求的方程;
(2)若点在上,过作的两弦与,若,求证: 直线过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图,不妨设在处, ,
则有 由
该直角三角形斜边
故答案为.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】已知函数f(x)=,g(x)=,若函数y=f(g(x))+a有三个不同的零点x1,x2,x3(其中x1<x2<x3),则2g(x1)+g(x2)+g(x3)的取值范围为______.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,D,E分别是BC,A1B1的中点.
(1)求证:DE∥平面ACC1A1;
(2)若AB⊥BC,AB=BC,∠ACB1=60°,求直线BC与平面AB1C所成角的正切值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,已知圆C的圆心坐标为(2,0),半径为 ,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.,直线l的参数方程为: (t为参数).
(1)求圆C和直线l的极坐标方程;
(2)点P的极坐标为(1, ),直线l与圆C相交于A,B,求|PA|+|PB|的值.
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