Question

（本题满分13分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2.

（Ⅰ）求实数的值;

（Ⅱ）设,讨论的单调性;

（Ⅲ）已知且,证明:.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间和都是单调递增的；（Ⅲ）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）函数的图象在点处的切线的斜率即为函数在处的斜率，由此得，解之即得得；（Ⅱ），所以设利用导数可得，从而，所以在区间和都单调递增；（Ⅲ）因为，由（Ⅱ）知成立，即，对照结论变形即可.

试题解析：（Ⅰ）所以 1分

由题意,得 3分

（Ⅱ），所以 4分

设

当时，，是增函数，，

所以，故在上为增函数； 5分

当时，，是减函数，，

所以，故在上为增函数；

所以在区间和都是单调递增的。 8分

（Ⅲ）因为，由（Ⅱ）知成立，即， 9分

从而，即 12分

所以. 13分

考点：1、导数的应用；不等式的证明.