Question

如图，F₁、F₂是椭圆C₁与双曲线C₂：

x2

2

-y2=1的公共焦点，A、B分别是C₁与C₂在第二、四象限的公共点．若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₁的离心率是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：解：设|AF₁|=x，|AF₂|=y，由已知条件列出方程组

y-x=2 2 x2+y2=12

，由此能求出椭圆的定义和性质能求出椭圆C₁的离心率．

解答：解：设|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵点A为双曲线C₂：

x2

2

-y2=1上的点，
∴2a=2

2

，b=1，c=

3

；
∴|AF₂|-|AF₁|=2a=2

2

，即y-x=2

2

；①
又四边形AF₁BF₂为矩形，
∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，即x²+y²=（2c）²=（2

3

）²=12，②
由①②得：

y-x=2 2 x2+y2=12

，解得x=2-

2

，y=2+

2

，
设椭圆C₁的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=|AF₁|+|AF₂|=x+y=4，2n=2

4-1

=2

3

，
∴椭圆C₁的离心率e=

n

m

=

3

2

．
故选：C．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF₁|与|AF₂|是关键，考查分析与运算能力．