Question

14．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数）．
（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）曲线C交x轴于A、B两点，且点x_A＜x_B，P为直线l上的动点，求△PAB周长的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出直线的直角坐标方程即可，平方消去θ，求出C的直角坐标方程即可；
（Ⅱ）分别求出A、B的坐标，结合对称性得到关于a，b的方程组，求出M的坐标，从而求出△PAB周长的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由直线l的极坐标方程，得$ρcosθsin\frac{π}{4}-ρsinθcos\frac{π}{4}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
即ρcosθ-ρsinθ=1，直线l的直角坐标方程为x-y=1，…（3分）
由曲线C的参数方程得C得普通方程为（x-5）²+y²=1…．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线C表示圆心（5，0），半径r=1的圆，
令y=0得x=4或x=6，
故A的坐标为（4，0），B的坐标为（6，0）…（6分）
设A关于直线l的对称点为M（a，b），
则有$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}-\frac{a+4}{2}+1=0}\\{\frac{b}{a-4}=-1}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}}\right.$，即点M（1，3）…．…．（8分）
由题易知当P为MB与直线l的交点时△PAB周长最小，最小值为$2+\sqrt{34}$．…（10分）

点评 本题考查了极坐标，参数方程以及直角坐标方程的转化，考查对称关系，是一道中档题．