Question

1．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）中的a、b均为整数，且f（0）、f（1）均为奇数，则（　　）

• A． 方程f（x）=0有两个不相等的整数根
• B． 方程f（x）=0没有整数根
• C． 方程f（x）=0至少有一个整数根
• D． 方程f（x）=0至多有一个整数根

Answer 1

分析 先通过条件得到a，b同奇偶，然后分别讨论若a，b同为偶数与同为奇数两种情形，然后根据数值的奇偶进行判定方程有无整数根．

解答 证明：f（0）=c为奇数，
f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数，
所以a，b同奇偶，
假设整数根t，所以f（t）=0 即at²+bt+c=0，
若a，b同为偶数，则at²+bt为偶数，
所以at²+bt+c为奇数可得at²+bt+c≠0
与at²+bt+c=0矛盾；
若a，b同为奇数，若t为偶数则at²+bt为偶数，
若t为奇数则at²+bt为偶数，
所以 at²+bt+c为奇数 可得at²+bt+c≠0与at²+bt+c=0矛盾．
综上所述方程f（x）=0无整数根；
故选：B

点评 本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．