Question

10．如图所示，四棱锥A-BCDE，已知平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，DE∥BC，BC=2DE=6，AB=4$\sqrt{3}$，∠ABC=30°．
（1）求证：AC⊥BE；
（2）若∠BCE=45°，求三棱锥A-CDE的体积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理计算AC，得出BC⊥AC，再利用面面垂直的性质得出AC⊥平面BCDE，故而AC⊥BE；
（2）过E作EF⊥BC，垂足为F，利用三角形知识求出EF，代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 （1）证明：∵AB=4$\sqrt{3}$，BC=6，∠ABC=30°，
∴AC=$\sqrt{36+48-2×6×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BC²+AC²=AB²，∴AC⊥BC，
又平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE，
∴AC⊥BE．
（2）解：过E作EF⊥BC，垂足为F，
∵DE∥BC，∴EF⊥DE，
∵BE⊥EC，∠BCE=45°，∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}×DE×EF$=$\frac{9}{2}$，
∴V_A-CDE=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AC$=$\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×2\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．