Question

13．已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$满足$|{\overrightarrow a}|=4$，$|{\overrightarrow b}|=3$，$|{\overrightarrow c}|=2$，$\overrightarrow b•\overrightarrow c=3$，则${（\overrightarrow a-\overrightarrow b）^2}{（\overrightarrow a-\overrightarrow c）^2}-{[（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow c）]^2}$最大值为（　　）

• A． $4\sqrt{3}+3\sqrt{7}$
• B． $4\sqrt{7}+3\sqrt{3}$
• C． ${（4\sqrt{3}+3\sqrt{7}）^2}$
• D． ${（4\sqrt{7}+3\sqrt{3}）^2}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则由向量的数量积运算公式可知${（\overrightarrow a-\overrightarrow b）^2}{（\overrightarrow a-\overrightarrow c）^2}-{[（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow c）]^2}$最大值为4S${\;}_{△ABC}^{2}$，根据A点轨迹找出A到BC的最大距离即可求出最大值．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$所成夹角为θ，
则${（\overrightarrow a-\overrightarrow b）^2}{（\overrightarrow a-\overrightarrow c）^2}-{[（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow c）]^2}$=|AB|²|AC|²-|AB|²|AC|²cos²θ=|AB|²|AC|²sin²θ=|AB|²|AC|²sin²∠CAB，
=4S²_△ABC，
∵$|{\overrightarrow b}|=3$，$|{\overrightarrow c}|=2$，$\overrightarrow b•\overrightarrow c=3$，∴$\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$的夹角为60°，
设B（3，0，），C（1，$\sqrt{3}$），则|BC|=$\sqrt{7}$，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}×3×2×sin60°$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，设O到BC的距离为h，
则$\frac{1}{2}•BC•h$=S_△OBC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$，
∵|$\overrightarrow{a}$|=4，∴A点落在以O为圆心，以4为半径的圆上，
∴A到BC的距离最大值为4+h=4+$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．
∴S_△ABC的最大值为$\frac{1}{2}$×$\sqrt{7}$×（4+$\frac{3\sqrt{21}}{7}$）=2$\sqrt{7}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴${（\overrightarrow a-\overrightarrow b）^2}{（\overrightarrow a-\overrightarrow c）^2}-{[（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow c）]^2}$最大值为4（2$\sqrt{7}$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²=（4$\sqrt{7}$+3$\sqrt{3}$）²．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量在几何中的应用，属于中档题．