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    11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过左焦点F且垂直于x轴的弦长为1．
    （ I）求椭圆C的标准方程；
    （Ⅱ）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为$\frac{1}{2}$的直线l交椭圆C于A，B两点，问：|PA|2+|PB|2是否为定值？若是，求出这个定值并证明，否则，请说明理由．

    分析 （Ⅰ）利用椭圆长轴长设出椭圆方程，利用点在椭圆上，求出b，即可得到椭圆方程．
    （Ⅱ）设出P，直线l的方程，联立直线与椭圆方程，设出A、B坐标，
    通过根与系数的关系，计算|PA|2+|PB|2，化简求解即可．

    解答 解：（ I）由过左焦点F且垂直于x轴的弦长为1，
    可知椭圆C过点$（-c，\frac{1}{2}）$，∴$\frac{c^2}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，
    又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a2=b2+c2；
    三式联立解得$a=2，b=1，c=\sqrt{3}$，
    ∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1；
    （ II）设P（m，0）（且-2≤m≤2），由已知，直线l的方程是y=$\frac{1}{2}$（x-m），
    由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得，2x2-2mx+m2-4=0，（*）
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个根，
    所以有，x1+x2=m，x1x2=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
    所以，|PA|2+|PB|2=（x1-m）2+y12+（x2-m）2+y22
    =（x1-m）2+$\frac{1}{4}$（x1-m）2+（x2-m）2+$\frac{1}{4}$（x2-m）2
    =$\frac{5}{4}$[（x1-m）2+（x2-m）2]
    =$\frac{5}{4}$[x12+x22-2m（x1+x2）+2m2]
    =$\frac{5}{4}$[（x1+x2）2-2m（x1+x2）-2x1x2+2m2]
    =$\frac{5}{4}$[m2-2m2-（m2-4）+2m2]=5（为定值）；
    所以，|PA|2+|PB|2为定值．

    点评 本题考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系应用问题，也考查了定值问题的化简求解方法，是综合题．

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