Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csin A=

3

acos C．
（I）求C；
（II）若c=

7

，b=3a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理算出csin A=asinC，与题中等式比较可得tanC=

3

，结合C为三角形内角，可得C的大小；
（2）余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，列式解出a=1且b=3，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△ABC的面积．

解答：解：（I）根据正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，可得csin A=asinC，
∵csin A=

3

acos C，
∴asinC=

3

acosC，可得sinC=

3

cosC，得tanC=

sinC

cosC

=

3

∵C∈（0，π），∴C=

π

3

；
（II）∵c=

7

，b=3a，
∴由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
即7=a²+9a²-2a•3a•cos

π

3

=7a²，解之得a=1，b=3
因此，△ABC的面积为S=

1

2

absinC=

1

2

×1×3×sin60°=

3 3

4

．

点评：本题给出三角形的边角关系式，求角的大小并依此求三角形的面积．着重考查了正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．