Question

1．已知函数f（x）=x³-x²+x+1，
（1）求函数在点（1，2）处的切线
（2）求函数在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x²围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）先求出切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）先画出图象，求出交点的坐标，再根据定积分求出图形的面积即可．

解答 解：（1）∵（1，2）为曲线f（x）=x³-x²+x+1上的点，
设过点（1，2）处的切线的斜率为k，
则k=f′（1）=（3x²-2x+1）|_x=2=2，
∴过点（1，2）处的切线方程为y-2=2（x-1），即y=2x．
（2）y=2x与函数g（x）=x²围成的图形如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y{=x}^{2}}\end{array}\right.$，可得交点A（2，4）．
∴y=2x与函数g（x）=x²围成的图形的面积
S=${∫}_{0}^{2}$（2x-x²）=（x²-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{2}$=4-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考察了求切线的方程问题，考察定积分的应用，是一道中档题．