Question

10．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2-x），且f（-1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． -2
• D． 2

Answer 1

分析 本题通过赋值法对f（2-x）=f（x）中的x进行赋值为2+x，可得-f（x）=f（2+x），可得到函数f（x）的周期为4，根据奇函数的性质得到f（0）=0，再通过赋值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）的值，即可求解．

解答 解：∵f（2-x）=f（x），∴f[2-（2+x）]=f（2+x），即f（-x）=f（2+x），即-f（x）=f（2+x），
∴f（x+4）=f（4+x），故函数f（x）的周期为4．
∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）-f（x）=0，且f（-1）=2，
∴f（0）=0，f（1）=-f（-1）=-2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（-1）=2，f（4）=f（0）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=504•[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）
=504×（-2+0+2+0）+f（1）=0+（-2）=-2，
故选：C．

点评 本题通过赋值法结合奇函数的性质，利用周期性和图象平移的知识即可求解，属于基础题．